Задание 18 номер 507072

1.В клас­се учит­ся 20 че­ло­век, из них 13 че­ло­век по­се­ща­ют кру­жок по ис­то­рии, а 10 — кру­жок по ма­те­ма­ти­ке. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые верны при ука­зан­ных усло­ви­ях.

1) Каж­дый уче­ник этого клас­са по­се­ща­ет оба круж­ка.

2) Если уче­ник из этого клас­са ходит на кру­жок по ис­то­рии, то он обя­за­тель­но ходит на кру­жок по ма­те­ма­ти­ке.

3) Най­дут­ся хотя бы двое из этого клас­са, кто по­се­ща­ет оба круж­ка.

4) Не найдётся 11 че­ло­век из этого клас­са, ко­то­рые по­се­ща­ют оба круж­ка.

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

2.Когда учи­тель фи­зи­ки Ни­ко­лай Дмит­ри­е­вич ведёт урок, он обя­за­тель­но от­клю­ча­ет свой те­ле­фон. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые верны при при­ведённом усло­вии.

1) Если те­ле­фон Ни­ко­лая Дмит­ри­е­ви­ча включён, зна­чит, он не ведёт урок.

2) Если те­ле­фон Ни­ко­лая Дмит­ри­е­ви­ча включён, зна­чит, он ведёт урок.

3) Если Ни­ко­лай Дмит­ри­е­вич про­во­дит на уроке ла­бо­ра­тор­ную ра­бо­ту по фи­зи­ке, зна­чит, его те­ле­фон вы­клю­чен.

4) Если Ни­ко­лай Дмит­ри­е­вич ведёт урок фи­зи­ки, зна­чит, его те­ле­фон включён.

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

3.Со­глас­но гра­до­стро­и­тель­ным нор­мам, в домах выше 5 эта­жей дол­жен быть уста­нов­лен лифт. Счи­тая, что эти нормы не­укос­ни­тель­но ис­пол­ня­ют­ся, вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые не­по­сред­ствен­но из этого сле­ду­ют.

1) Если в доме нет лифта, то он не выше 5 эта­жей.

2) Если в доме 3 этажа, то в нём лифта нет.

3) Если в доме боль­ше 5 эта­жей, то в нём есть лифт.

4) Если в доме есть лифт, то он выше 5 эта­жей.

В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

4.Из­вест­но, что берёзы — де­ре­вья, также из­вест­но, что все де­ре­вья вы­де­ля­ют кис­ло­род. Под­сол­ну­хи тоже вы­де­ля­ют кис­ло­род. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных.

1) Все берёзы вы­де­ля­ют кис­ло­род

2) Все под­сол­ну­хи яв­ля­ют­ся берёзами

3) Не­ко­то­рые рас­те­ния, вы­де­ля­ю­щие кис­ло­род, яв­ля­ют­ся берёзами

4) Если рас­те­ние не вы­де­ля­ет кис­ло­род, то оно — не под­сол­нух

В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

5.В ком­па­нии из 30 че­ло­век 25 поль­зу­ют­ся со­ци­аль­ной сетью «Од­но­класс­ни­ки», а 10 — со­ци­аль­ной сетью «ВКон­так­те». Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые верны при ука­зан­ных усло­ви­ях.

1) В этой ком­па­нии найдётся 10 че­ло­век, ко­то­рые не поль­зу­ют­ся ни сетью «Од­но­класс­ни­ки», ни сетью «ВКон­так­те».

2) В этой ком­па­нии найдётся хотя бы 5 че­ло­век, поль­зу­ю­щих­ся обе­и­ми се­тя­ми.

3) Не найдётся ни од­но­го че­ло­ве­ка из этой ком­па­нии, поль­зу­ю­ще­го­ся толь­ко сетью «Од­но­класс­ни­ки».

4) Не более 10 че­ло­век из этой ком­па­нии поль­зу­ют­ся обе­и­ми се­тя­ми.

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

6. Перед фут­боль­ным тур­ни­ром из­ме­ри­ли рост каж­до­го иг­ро­ка фут­боль­ной ко­ман­ды го­ро­да N. Ока­за­лось, что рост каж­до­го из фут­бо­ли­стов этой ко­ман­ды боль­ше 170 см и мень­ше 190 см.

Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из дан­ной ин­фор­ма­ции.

1) В фут­боль­ной ко­ман­де го­ро­да N обя­за­тель­но есть игрок, рост ко­то­ро­го равен 180 см.

2) В фут­боль­ной ко­ман­де го­ро­да N нет иг­ро­ков с ро­стом 169 см.

3) Рост лю­бо­го фут­бо­ли­ста этой ко­ман­ды мень­ше 190 см.

4) Раз­ни­ца в росте любых двух иг­ро­ков фут­боль­ной ко­ман­ды го­ро­да N со­став­ля­ет не более 20 см.

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и

дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

7.Среди вось­ми­класс­ни­ков не­ко­то­рые участ­во­ва­ли в олим­пиа­де по ма­те­ма­ти­ке, а не­ко­то­рые — по об­ще­ст­во­зна­нию. Все те школь­ни­ки, ко­то­рые участ­во­ва­ли в олим­пиа­де по об­ще­ст­во­зна­нию не участ­во­ва­ли в олим­пиа­де по ма­те­ма­ти­ке. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных.

1) Вось­ми­класс­ник, ко­то­рый участ­во­вал в оли­пиа­де по ма­те­ма­ти­ке не участ­во­вал в олим­пиа­де по об­ще­ст­во­зна­ние.

2) Все вось­ми­класс­ни­ки участ­во­ва­ли в олим­пиа­де либо по ма­те­ма­ти­ке, либо по об­ще­ст­во­зна­нию.

3) Среди тех вось­ми­класс­ни­ков, ко­то­рые участ­во­ва­ли в олим­пиа­де по ма­те­ма­ти­ке есть хотя бы один участ­ник, ко­то­рый участ­во­вал в олим­пиа­де по об­ще­ст­во­зна­нию.

4) Нет ни од­но­го вось­ми­класс­ни­ка, ко­то­рый участ­во­вал и в олим­пиа­де по ма­те­ма­ти­ке и в олим­пиа­де по об­ще­ст­во­зна­нию.

8.В груп­пе учит­ся 30 сту­ден­тов, из них 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёт по эко­но­ми­ке и 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёт по ан­глий­ско­му языку. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных.

В этой груп­пе

1) не менее 10 сту­ден­тов не по­лу­чи­ли зачёта ни по эко­но­ми­ке, ни по ан­глий­ско­му языку

2) хотя бы 10 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёты и по эко­но­ми­ке, и по ан­глий­ско­му языку

3) не боль­ше 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёты и по эко­но­ми­ке, и по ан­глий­ско­му языку

4) найдётся сту­дент, ко­то­рый не по­лу­чил зачёта по ан­глий­ско­му языку, но по­лу­чил зачёт по эко­но­ми­ке.

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и

дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

9.Отец обе­щал сыну-сту­ден­ту по­да­рить но­ут­бук, если он сдаст сес­сию без троек.Отец все­гда вы­пол­ня­ет свои обе­ща­ния. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых фак­тов.

1) Если сес­сия сдана на от­лич­но, то но­ут­бук будет по­да­рен

2) Если сын по­лу­чит трой­ку, то отец не по­да­рит ему но­ут­бук

3) Если но­ут­бук не был по­да­рен, то сес­сия не сдана успеш­но (без троек)

4) Если но­ут­бук был по­да­рен, то сес­сия сдана без троек

В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

10.Если спортс­мен, участ­ву­ю­щий в Олим­пий­ских играх, уста­но­вил ми­ро­вой ре­корд, то его ре­зуль­тат яв­ля­ет­ся и олим­пий­ским ре­кор­дом. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из этого факта.

1) Если ре­зуль­тат спортс­ме­на, участ­ву­ю­ще­го в Олим­пий­ских играх, не яв­ля­ет­ся олим­пий­ским ре­кор­дом, то он не яв­ля­ет­ся и ми­ро­вым ре­кор­дом.

2) Если ре­зуль­тат спортс­ме­на, участ­ву­ю­ще­го в Олим­пий­ских играх,

яв­ля­ет­ся олим­пий­ским ре­кор­дом, то он яв­ля­ет­ся и ми­ро­вым ре­кор­дом.

3) Если ре­зуль­тат спортс­ме­на, участ­ву­ю­ще­го в Олим­пий­ских играх, не яв­ля­ет­ся ми­ро­вым ре­кор­дом, то он не яв­ля­ет­ся и олим­пий­ским ре­кор­дом.

4) Если спортс­мен, участ­ву­ю­щий в Олим­пий­ских играх, уста­но­вил ми­ро­вой ре­корд в беге на 100 м, то его ре­зуль­тат яв­ля­ет­ся и олим­пий­ским ре­кор­дом.

В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

3367	Оценки экспертов решений задания 18 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание 18 проверяет достижение следующих целей изучения математики на профильном уровне: «развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и её приложений в будущей профессиональной деятельности Решение	Критерии оценивания решений задания 18 ЕГЭ по математике профильного уровня ! Примеры оценивания реальных работ 2016-2021 гг # Приведены типы заданий с развёрнутым ответом, используемые в КИМ ЕГЭ по математике и критерии оценки выполнения заданий с развёрнутым ответом, приводятся примеры оценивания выполнения заданий и даются комментарии, объясняющие выставленную оценку
3366	Имеются три коробки: в первой коробке — 64 камня, во второй — 77 камней, а в третьей — пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Может ли в первой коробке оказаться 64 камня, во второй — 59, в третьей — 18? б) Может ли в третьей коробке оказаться 141 камень? в) В первой коробке оказался один камень. Найдите наибольшее возможное количество камней в третьей коробке. Решение	Имеются три коробки: в первой коробке — 64 камня, во второй — 77 камней, а в третьей — пусто ! ЕГЭ 2022 по математике 02.06.2022 основная волна Задание 18 Санкт-Петербург, Центр
3363	На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b − a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b − a. а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20? б) Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равным 25? в) Найдите наибольшее значение N Решение	На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99 ! ЕГЭ 2022 по математике 02.06.2022 основная волна Задание 18 Санкт-Петербург, Центр
3287	Юра записывает на доске n-значное натуральное число, не используя цифру 0. Затем он записывает рядом ещё одно число, полученное из исходного перемещением первой цифры на последнее место. (Например, если n=3 и исходное число равно 123, то второе число равно 231.) После этого Юра находит сумму этих двух чисел. а) Может ли сумма чисел на доске равняться 2728, если n=4 ? б) Может ли сумма чисел на доске равняться 83 347, если n=5? в) При n=6 оказалось, что сумма чисел делится на 99. Сколько натуральных чисел от 925 111 до 925 999, которые Юра мог использовать в качестве исходного числа? Решение	Юра записывает на доске n-значное натуральное число, не используя цифру 0 ! Тренировочная работа №1 по МАТЕМАТИКЕ 10-11 класс 27.01.2022 Вариант МА2100109 Задание 18
3043	А) Можно ли в выражении ln5*ln6*ln7*ln8*ln10*ln12*ln14 вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «-«, чтобы в результате получился ноль? Б) Можно ли в выражении ln6*ln7*ln8*ln12*ln14*ln24*ln32 вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «-«, чтобы в результате получился ноль? В) Какое наибольшее количество попарно различных чисел можно выбрать из набора ln7, ln8, …, ln20 и расставить знаки «+» и «-» так, чтобы их сумма стала равна нулю? Решение	А) Можно ли в выражении ln5*ln6*ln7*ln8*ln10*ln12*ln14 вместо всех знаков * так расставить знаки ! Тренировочный вариант 365 от Ларина Задание 18 (19) # Решение — Кирилла Колокольцева # математика 50 вариантов ЕГЭ 2022 профильный уровень Ященко Вариант 12 Задание 18
2874	Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1). а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 9 нулями? б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 23 нулями? в) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 100, для каждого из которых десятичная запись числа n∙ (100 — n)! оканчивается ровно 23 нулями Решение	Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1) ! 36 вариантов ЕГЭ 2022 ФИПИ школе Ященко Вариант 17 Задание 18 # 36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко Вариант 7 Задание 19
2690	Пусть S(n) и K(n) обозначают сумму всех цифр и сумму квадратов всех цифр натурального числа соответственно. а) Существует ли такое натуральное число n, что K(n) = 2S(n) + 7 ? б) Существует ли такое натуральное число n, что K(n) = 3S(n) + 7 ? в) Для какого наименьшего натурального числа n выполнено равенство K(n) = 8S(n) + 65? Решение	Пусть S(n) и K(n) обозначают сумму всех цифр и сумму квадратов всех цифр натурального числа ! Статград — Тренировочная работа №1 для 10 класса 28.01.2021 Профильный уровень Вариант МА2000309 Задание 19
2680	Пусть bar(ab) обозначает двузначное число, равное 10a + b , где a и b — цифры, a ≠ 0 . а) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a , b, c и d , что bar(ab) ⋅ bar(cd) − bar(ba) ⋅ bar(dc) =198? б) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a , b , c и d , что bar(ab) ⋅ bar(cd) − bar(ba) ⋅ bar(dc) =495 , если среди цифр a , b, c и d есть цифра 5? в) Какое наибольшее значение может принимать выражение bar(ab) ⋅ bar(cd) − bar(ba) ⋅ bar(dc) , если среди цифр a , b, c и d есть цифры 5 и 6 Решение	Пусть ab обозначает двузначное число, равное 10a + b , где a и b — цифры, ! Тренировочная работа №2 по математике 11 класс Статград 16-12-2020 профильный уровень Вариант МА2010209 Задание 19
2551	У Миши в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая. a) Может ли у Миши быть 30 монет? б) Какое наибольшее количество монет может быть у Миши? в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Миши? Решение	У Миши в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 15 Задание 18 # 36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко Вариант 5 Задание 19
2455	На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма всех записанных на доске чисел равна 1135. а) Может ли на доске быть ровно 31 четное число? б) Могут ли ровно семь чисел на доске оканчиваться на 7? в) Какое наибольшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске? Решение	На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7 ! Тренировочный вариант 322 от Ларина Задание 19 # Решение — Кирилла Колокольцева

Задание 1 № 366805

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на рисунке. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр.

Объекты	Город Гранюк	Деревня Астрелка	Хутор Южный	Город Гусевск
Цифры

Андрей и его друзья собираются поехать в отпуск на две недели. Предварительно они наметили маршрут, представленный на рисунке. Они планируют на велосипедах добраться от города Гранюк до кемпинга, обозначенного на рисунке цифрой 7, за 4 дня, а потом поставить там палатки и отдыхать в море. Друзья собираются выехать рано утром и в первый день добраться до хутора Южный, где живёт бабушка Андрея. Там есть озеро, в котором можно купаться и ловить рыбу, что они и собираются делать до обеда следующего дня. Потом планируется доехать до посёлка Быково и заночевать там в мини‐отеле. На следующий день они собираются проехать 24 км до города Гусевск вдоль степного заказника и переночевать в одной из гостиниц. Заказник обозначен на рисунке цифрой 8. Из Гусевска в посёлок Домарку, где расположен кемпинг, можно доехать напрямую или через деревню Астрелка. Прямой путь короче, но там в эти дни идёт ремонт дороги, и пока неизвестно, где можно будет проехать быстрее.

Решение.

Андрей и его друзья собираются начинать движение из города Гранюк, следовательно, он отмечен на рисунке цифрой 1. Рядом с хутором Южный расположено озеро. Значит, хутор Южный отмечен на рисунке цифрой 6. После хутора Южный планируется поехать до посёлка Быково, а потом проехать до города Гусевска вдоль степного заказника. Значит, город Гусевск обозначен на рисунке цифрой 5. Из Гусевска в посёлок Домарку, где расположен кемпинг, можно доехать напрямую или через деревню Астрелка. Значит, деревня Астрелка обозначена на рисунке цифрой 4.

Ответ: 1465.

2. Задание 2 № 366806

Ребята решили, что нужно взять в поездку чай в пакетиках определённого сорта. Оксане поручили купить чай на всех. Сколько пачек чая должна купить Оксана, если в компании 8 человек, в день они выпивают в среднем 3 пакетика на одного человека и поездка продлится две недели? В каждой пачке 25 пакетиков чая.

Решение.

Найдём, сколько пакетиков чая ребята потратят за две недели:

Значит, им понадобится

пачек чая.

Таким образом, ребята должны купить 14 пачек чая.

Ответ: 14.

3. Задание 3 № 366807

Найдите площадь (в км²), которую занимает заказник.

Решение.

Площадь заказника равна:

Ответ: 351.

4. Задание 4 № 366808

Все могут пойти в отпуск с 15 июля, кроме Григория и Марии, которым в этот день нужно работать. Они готовы выехать 16 июля и догнать остальную группу в посёлке Быково, не заезжая на хутор Южный. Найдите расстояние, которое проедут Григорий и Мария от города Гранюк до Быково. Ответ дайте в километрах.

Решение.

Найдём расстояние, которое проедут Григорий и Мария от города Гранюк до Быково, по теореме Пифагора:

км.

Ответ: 30.

5. Задание 5 № 366809

Андрей выяснил, что его велосипед пришёл в нерабочее состояние. Андрей посетил сайты интернет‐магизина «ОК» и магазина «Вело», расположенного в соседнем доме, чтобы узнать некоторые цены. В этих магазинах можно купить готовый велосипед либо запасные части. Цены на продукцию магазинов и срок доставки из интернет‐магазина даны в таблице.

Продукция	Цена в магазине «Вело» (руб.)	Цена в магазине «ОК» (руб.)	Срок доставки из магазина «ОК» (дни)
Подсветка для спиц
Шина вида «А»
Шина вида «Б»
Спица
Педаль вида «А»
Педаль вида «Б»
Тормоз вида «А»		нет
Тормоз вида «Б»	нет
Набор крепёжных изделий

Андрея не устраивает срок доставки деталей из интернет‐магазина, и он решил приобрести детали в магазине «Вело». Он готов потратить на ремонт не более 6000 рублей и при этом хочет купить самый дорогой набор для ремонта велосипеда, который может себе позволить. Ему нужно купить 5 спиц, 2 шины (одного вида), 2 педали (одного вида), тормоз (любого вида) и набор крепёжных изделий. Сколько рублей Андрей потратит на набор запасных частей?

Решение.

На спицы Андрей потратит 70 · 5 = 350 руб. Далее, Андрей должен купить две шины вида «А», поскольку если он купит две шины вида «Б», ему не хватит денег на остальные запчасти. Значит, на шины он потратит 680 · 2 = 1360 руб. Поскольку Андрей хочет купить самый дорогой набор для ремонта велосипеда, из двух видов педалей он может купить педали вида «Б», они будут стоить 860 · 2 = 1720 руб. Ему останется купить тормоз и набор крепёжных изделий. Таким образом, всего Андрей потратит:

руб.

Ответ: 5300.

6. Задание 6 № 316314

Найдите значение выражения:

Решение.

Для упрощения вычислений, вынесем общий множитель за скобки:

Ответ: 4,4.

7. Задание 7 № 317575

На координатной прямой отмечены числа a и b.

В ответе укажите номер правильного варианта.

Какое из приведенных утверждений неверно?

1)

2)

3)

4)

Решение.

Заметим, что и Проверим все варианты ответа:

1) — неверно;

2) — верно;

3) — верно;

4) — верно.

Ответ указан под номером 1.

8. Задание 8 № 353586

Какое из данных ниже чисел является значением выражения

1)

2)

3)

4)

Решение.

Последовательно получим:

Ответ: 1

9. Задание 9 № 338500

При каком значении значения выражений и равны?

Решение.

Для ответа на вопрос задачи нужно решить уравнение Решим его:

Ответ: 2.

10. Задание 10 № 325450

В соревнованиях по художественной гимнастике участвуют три гимнастки из России, три гимнастки из Украины и четыре гимнастки из Белоруссии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России.

Решение.

Всего в соревнованиях участвуют 3 + 3 + 4 = 10 гимнасток. Поэтому вероятность того, что первой будет будет выступать гимнастка из России равна

Ответ: 0,3.

11. Задание 11 № 311406

На рисунке изображён график функции . Какие из утверждений относительно этой функции неверны? Укажите их номера.

1) функция возрастает на промежутке

2)

3)

4) прямая пересекает график в точках и

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) Функция возрастает на промежутке — неверно, функция убывает на промежутке и затем возрастает на .

2) — неверно,

3) — верно, видно из графика.

4) Прямая пересекает график в точках и — верно, видно из графика.

Таким образом, неверные утверждения находятся под номерами 1 и 2.

Ответ: 12.

12. Задание 12 № 311543

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по формуле , где — длины его диагоналей, а угол между ними. Вычислите , если .

Решение.

Выразим :

Подставляя, получаем:

Ответ: 0,4.

13. Задание 13 № 338497

На каком из рисунков изображено решение неравенства

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

Правильный ответ указан под номером: 4.

14. Задание 14 № 406645

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение.

Количества мест в рядах представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом 17.

Найдем сумму этой прогрессии:

Ответ: 377 мест.

15. Задание 15 № 340000

В прямоугольном треугольнике катет , а высота , опущенная на гипотенузу, равна Найдите

Решение.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому их синусы равны:

Ответ: 0,2.

16. Задание 16 № 351463

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что Длина меньшей дуги AB равна 33. Найдите длину большей дуги.

Решение.

Пусть длина большей дуги равна Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:

Ответ: 2343.

17. Задание 17 № 169876

Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — 45°. Найдите площадь параллелограмма, делённую на .

Решение.

Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними:

Ответ: 30.

———-

В открытом банке иррациональный ответ.

18. Задание 18 № 350842

Найдите угол

Решение.

Искомый угол опирается на часть окружности: . Так как угол является вписанный, он равен половине дуги, на которую опирается, т.е.

Ответ: 22,5

19. Задание 19 № 401617

Какие из следующих утверждений верны?

1) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

2) Боковые стороны любой трапеции равны.

3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Существуют три прямые, которые проходят через одну точку» — верно, так как через одну точку на плоскости можно провести бесконечное количество прямых.

2) «Боковые стороны любой трапеции равны» — неверно, боковые стороны равнобедренной трапеции равны.

3) «Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам» — верно, сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.

Ответ: 13.

20. Задание 20 № 338505

Решите неравенство

Решение.

Решим неравенство методом интервалов, для этого, сначала разложим на множители выражение

Теперь расставим точки на прямой и определим знаки выражения на каждом получившемся промежутке (см. рис.).

Таким образом, ответ

Ответ:

Примечание.

Обратите внимание, что при определении знаков выражения используется исходное выражение, а именно,

21. Задание 21 № 353527

Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 95-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Пусть взяли г 21-процентного раствора, тогда взяли и г 95-процентного раствора. Концентрация раствора — масса вещества, разделённая на массу всего раствора. В первом растворе содержится г, а во втором — г Концентрация получившегося раствора равна или 58%.

Ответ: 58.

22. Задание 22 № 338288

Постройте график функции И определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Упростим выражение:

По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнения равны -1 и -2 соответственно, тогда по формуле , получаем: . Имеем:

График функции сводится к графику параболы с выколотой точкой

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график функции получается из графика функции сдвигом на . (см. рис.)

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку при и

Ответ: −1; 3.

23. Задание 23 № 339395

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 16.

Решение.

Угол — вписанный, он равен 90° и опирается на дугу следовательно, дуга равна 180°, значит, хорда — диаметр окружности и

Ответ: 16.

24. Задание 24 № 155

В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Решение.

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и по условию известно, что АЕ = CK, BF = DM, то BЕ = KD, CF = AM. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому треугольники EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что EF=MK, EM=FK. Так как противоположные стороны четырехугольника EFKM равны, то по признаку параллелограмма этот четырехугольник — параллелограмм.

25. Задание 25 № 311926

В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36 .

Решение.

По свойству равнобедренной трапеции следовательно, треугольники и равны. Так как = треугольники и равнобедренные, следовательно, и — соответствующие медианы этих треугольников. Значит, Отрезок соединяет середины диагоналей трапеции, следовательно, и прямые и параллельны, поэтому, — трапеция. Проведём — высоту трапеции и — высоту трапеции . Прямоугольные треугольники и подобны, значит,

Площадь трапеции :

Площадь трапеции

Ответ: 9.