Контрольная работа номер 1 аксиомы стереометрии - Большой телефонный справочник предприятий

Контрольная работа по геометрии в 10 классе «Аксиомы стереометрии» с ответами и решениями (легкий уровень). УМК Атанасян и др. (Просвещение). Поурочное планирование по геометрии для 10 класса (В.А. Яровенко, ВАКО). Урок 15. Геометрия 10 класс Контрольная № 1 «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости» Уровень 1.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе (Атанасян)

К-1 Уровень 2 (средний)
К-1 Уровень 3 (сложный)

Уровень 1 (легкий). Геометрия 10 класс

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

Аксиомы стереометрии

Вариант 1

Прямые а и b пересекаются. Прямая с является скрещивающейся с прямой а. Могут ли прямые b и с быть параллельными?
Плоскость α проходит через середины боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD — точки М и N.
а) Докажите, что AD II α.
б) Найдите ВС, если AD = 10 см, MN= 8 см.

Прямая МА проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата.
а) Докажите, что МА и ВС — скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между прямыми МА и ВС, если ∠МАD = 45°.

Вариант 2

Прямые а и b пересекаются. Прямые а и с параллельны. Могут ли прямые b и с быть скрещивающимися?
Плоскость α проходит через основание AD трапеции ABCD. М и N — середины боковых сторон трапеции.
а) Докажите, что MN II α.
б) Найдите AD, если ВС = 4 см, MN = 6 см.

Прямая CD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. Е и F — середины отрезков АВ и ВС.
а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

ОТВЕТЫ на контрольную работу:

Задания и Ответы на Вариант 1

№ 1. Прямые а и b пересекаются. Прямая с является скрещивающейся с прямой а. Могут ли прямые b и с быть параллельными?
ОТВЕТ: да.

№ 2. Плоскость α проходит через середины боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD — точки М и N.
а) Докажите, что AD II α.
б) Найдите ВС, если AD = 10 см, MN= 8 см.
ОТВЕТ: б) 6 см.

№ 3. Прямая МА проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата.
а) Докажите, что МА и ВС — скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между прямыми МА и ВС, если ∠МАD = 45°.
ОТВЕТ: б) 45°.

Смотреть РЕШЕНИЯ заданий в тетради

Задания и Ответы на Вариант 2

№ 1. Прямые а и b пересекаются. Прямые а и с параллельны. Могут ли прямые b и с быть скрещивающимися?
ОТВЕТ: да.

№ 2. Плоскость α проходит через основание AD трапеции ABCD. М и N — середины боковых сторон трапеции.
а) Докажите, что MN II α.
б) Найдите AD, если ВС = 4 см, MN = 6 см.
ОТВЕТ: б) 8 см.

№ 3. Прямая CD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. Е и F — середины отрезков АВ и ВС.
а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.
ОТВЕТ: б) 60°.

Смотреть РЕШЕНИЯ заданий в тетради

Смотрите также задания и ответы на контрольную работу № 1 для других уровней:

К-1 Уровень 2 (средний)
К-1 Уровень 3 (сложный)

Вы смотрели: Геометрия 10 класс Контрольная № 1 Уровень 1 (легкий). Поурочное планирование по геометрии для 10 класса. УМК Атанасян (Просвещение). Урок 15. Контрольная работа по геометрии «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости» + ОТВЕТЫ.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе по УМК Атанасян.

(с) В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия «Поурочные разработки по геометрии. 10 класс — М.: ВАКО», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».

Источник

Контрольная работа № 1 по геометрии для 10 класса «Аксиомы стереометрии и следствия из них» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Геометрия 10 Мерзляк КР-1. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень».

КР-1. Вариант 1.

На рисунке 97 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей АВ₁С₁ и ABB₁.
Даны точки А, В и С такие, что АВ = 2 см, ВС = 5 см, АС = 3 см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки А, В и С? Ответ обоснуйте.
Точки А, В и С не лежат на одной прямой. На прямой АВ отметили точку D, на прямой ВС — точку В, а на прямой DE — точку М. Докажите, что точки А, С и М лежат в одной плоскости.
Точки М и N принадлежат соответственно граням SBC и SCD пирамиды SABCD (рис. 98). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SBD.
Точки М и К принадлежат соответственно рёбрам SB и SC тетраэдра SABC, а точка N — грани АВС (рис. 99), причём прямые МК и ВС не параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

Алгебра 10 Мерзляк КР-1

КР-1. Вариант 2.

На рисунке 104 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей АСС₁ и DCC₁.
Даны точки А, В и С такие, что АВ = 4 см, ВС = 6 см, АС = 7 см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки А, В и С? Ответ обоснуйте.
Прямые а и b пересекаются в точке О. На прямой а отметили точку А, на прямой b — точку B, а на прямой АВ — точку С. Докажите, что прямые а, b и точка С лежат в одной плоскости.
Точки М и N принадлежат соответственно граням SAB и SBC пирамиды SABCD (рис. 105). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SAC.
Точки М и N принадлежат соответственно рёбрам АВ и АС призмы ABCA₁B₁C₁, а точка К — грани ВВ₁С₁С (рис. 106), причём прямые MN и ВС не параллельны. Постройте сечение призмы плоскостью MNK.

ОТВЕТЫ на КР-1 Вариант 1

№ 1. На рисунке 97 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей АВ₁С₁ и ABB₁.
ОТВЕТ: AB₁.

№ 2. Даны точки А, В и С такие, что АВ = 2 см, ВС = 5 см, АС = 3 см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки А, В и С? Ответ обоснуйте.
ОТВЕТ: бесконечное множество.
ОБОСНОВАНИЕ: Из аксиомы стереометрии следует, что через любые 3 точки, не лежащие на 1 прямой, проходит ровно 1 плоскость. Точки А, В и С могут находиться на одной прямой, так как 2 + 3 равно 5 (точка А на прямой ВС).

№ 3. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. На прямой АВ отметили точку D, на прямой ВС — точку Е, а на прямой DE — точку М. Докажите, что точки А, С и М лежат в одной плоскости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Так как точки А, В, С не лежат на одной прямой, то существует единственная плоскость а, проходящая через эти точки (аксиома стереометрии). То есть, а = (АВС).
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая (все точки прямой) принадлежит этой плоскости. Так как точки А и В принадлежат а, то и прямая АВ принадлежит а, и точка D на прямой АВ тоже принадлежит а.
Аналогично, прямая ВС принадлежит а, и точка Е принадлежит а. Из этого следует, что прямая DE также принадлежит плоскости а. Но тогда любая точка этой прямой, в том числе точка М, принадлежит а, что и требовалось доказать.

№ 4. Точки М и N принадлежат соответственно граням SBC и SCD пирамиды SABCD (рис. 98). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SBD.
ОТВЕТ: Из точки С в заданных гранях через точки M и N проводим прямые до пересечения с плоскостью SBD. Получили прямые СК и СР.
Прямая КР — след пересечения плоскости, проходящей через прямые CK и CP с плоскостью SBD. Прямая КР принадлежит плоскости SBD, так как точки К и Р принадлежат этой плоскости.
Проводим прямую MN до пересечения с прямой КР. Точка О – это точка пересечения прямых MN и KP. Следовательно, точка О – точка пересечения с плоскостью SBD.

№ 5. Точки М и К принадлежат соответственно рёбрам SB и SC тетраэдра SABC, а точка N — грани АВС (рис. 99), причём прямые МК и ВС не параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.
ОТВЕТ: Продлить отрезок МК до пересечения с продлением ребра ВС. От этой точки через точку N будет проходить линия пересечения с плоскостью основания. Далее через точки пересечения следа с рёбрами основания проводятся линии сечения.

Аналогично решаются задания Варианта 2.

Вы смотрели: Контрольная работа № 1 по геометрии «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках» для 10 класса (2 варианта) УМК Мерзляк Базовый уровень. Геометрия 10 Мерзляк КР-1 с ответами.

Вернуться к Списку контрольных работ (по 2 варианта)

Ещё 4 варианта контрольной № 1 из Методички (по 4 варианта)

Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ).

Источник

Контрольная работа № 1 по геометрии в 10 классе с ответами по УМК Атанасян, базовый уровень (Просвещение). Геометрия 10 Атанасян Контрольная 1 «Аксиомы стереометрии» + ответы. Цитаты из пособия «Геометрия. Контрольные работы. 10–11 классы : учеб. пособие для общеобразоват. организаций : базовый уровень / М. А. Иченская» использованы в учебных целях. Ответы адресованы родителям.

Геометрия 10 класс (Атанасян)
Контрольная работа № 1 (Иченская)

К–1, Вариант 1

Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через ребро СС₁ и точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁A. Найдите периметр построенного сечения, если ребро куба равно 2 см.
Прямые а и b параллельны, точка А не лежит на этих прямых. Через точку А проведите плоскость α, параллельную каждой из данных прямых.
Прямые АВ и CD – скрещивающиеся. Могут ли прямые АС и BD пересекаться? Ответ объясните.

К–1, Вариант 2

Середины рёбер АВ, ВС и DC тетраэдра ABCD – точки М, N и Р соответственно. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через эти три точки. Найдите периметр построенного сечения, если АС = 10 см, BD = 12 см.
Прямые а и b пересекаются, точка М не лежит на этих прямых. Через точку М проведите плоскость, параллельную каждой из данных прямых.
Лежат ли прямые а, b и с в одной плоскости, если прямые а и b, а и c, b и c пересекаются и точки их пересечения не совпадают? Ответ объясните.

К–1, Вариант 3

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через ребро AD и точку пересечения диагоналей грани A₁B₁C₁D₁. Найдите периметр построенного сечения, если DD₁ = 12 см, C₁D₁ = 10 см, A₁D₁ = 15 см.
Плоскости α и β пересекаются, точка А не лежит в этих плоскостях. В плоскости α проведите прямую, проходящую через точку А и параллельную плоскости β.
Верно ли утверждение: прямая, пересекающая одну из расположенных в пространстве параллельных прямых, пересекает и другую прямую? Ответ объясните.

К–1, Вариант 4

Точки А, В и С – середины рёбер МК, MN и РК тетраэдра MPNK соответственно. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через эти точки. Найдите периметр построенного сечения, если РМ = 8 см, KN = 6 см.
Прямые а и b скрещиваются, точка А не лежит на этих прямых. Через точку А проведите плоскость, параллельную прямым а и b.
Даны две пересекающиеся в точке О прямые. Всякая ли третья прямая, имеющая с каждой из данных прямых общую точку, отличную от точки О, лежит с ними в одной плоскости? Ответ объясните.

Ответы на контрольную работу

Геометрия 10 Атанасян Контрольная 1 + ответы

Геометрия 10 Атанасян Контрольная 1 «Аксиомы стереометрии» + ответы

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе с ответами по УМК Атанасян, базовый уровень (Просвещение). Цитаты из пособия «Геометрия. Контрольные работы. 10–11 классы : базовый уровень / Иченская» использованы в учебных целях. Ответы адресованы родителям.
Геометрия 10 Атанасян Контрольная 1 + ответы.

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии в 10 классе (Атанасян)

Источник

Цель урока:

— проконтролировать знания, умения и навыки по данной теме.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Контрольная работа (см. приложение)

I уровень

Ответы к задачам:

№ 1. да.

№ 2. б) 6 см.

№ 3. б) 45°.

№ 1. да.

№ 2. б) 8 см.

№ 3. б) 60°.

II уровень

Ответы к задачам:

№ 1 а) да; б) нет; в) да.

№ 2 б) 6 см; 10 см.

№ 3 б) 50°.

№ 1 а) нет; б) да; в) да.

№ 2 б) 6 см; 10 см.

№ 3 б) 45°.

III уровень

Ответы к задачам:

№ 1 а) нет; б) да; в) нет.

№ 2 б) 28 см.

№ 3 в) 90°.

№ 1 а) да; б) да; в) нет.

№ 2 б) 12 см.

№ 3 б) 60°.

III. Подведение итогов

Домашнее задание

П. 1-9, прорешать задачу из контрольной работы № 1 (поменяться вариантами).

Решение заданий контрольной работы № 1.

I уровень

Вариант I

№ 1. Дано: a ∩ b в точке О, а и с скрещивающиеся (рис. 1).

Могут ли прямые b и с быть параллельными?

Решение:

1. Через а ∩ b в точке О проведем плоскость α (по теореме п. 3, стр. 7).

2. а и с — скрещивающиеся, значит, с ∉ α.

3. Прямые b и с могут быть параллельными. (Ответ: да.)

№ 2. Дано: ABCD — трапеция; α — плоскость; α ∩ АВ в точке М; α ∩ CD в точке N; AM = MB; CN = ND; MN = 8 см; AD = 10 см (рис. 2).

а) Доказать: AD || α.

б) Найти: ВС.

Доказательство: a) MN ∈ α; MN — средняя линия трапеции ABCD; MN || ВС и MN || AD no свойству средней линии. Значит, AD || α.

Решение: б) (Ответ: a) AD || α; б) ВС = 6 см.)

№ 3. Дано: ABCD — квадрат; МА — прямая; МА ∉ (ABCD) (рис. 3).

Доказать: МА и ВС — скрещивающиеся.

Найти: угол между прямыми МА и ВС, если ∠MAD = 45°.

Доказательство: в точке А ∉ ВС. Значит, МА и ВС — скрещивающиеся.

Решение: ВС || AD — как противолежащие стороны квадрата, значит, угол между прямыми МА и ВС будет ∠MAD = 45° по условию. (Ответ: а) МА и ВС — скрещивающиеся; б) угол между прямыми МА и ВС равен 45°.)

Вариант II

№ 1. Дано: a ∩ b в точке О; а || с (рис. 4).

Могут ли прямые b и с быть скрещивающимися?

Решение:

1. Через a ∩ b в точке О проведем плоскость α (по теореме п. 3).

2. а || с — по условию, значит, если с ∈ α, то b ∩ с, а если с ∉ α, то b и с — скрещивающиеся. (Ответ: могут.)

№ 2. Дано: ABCD — трапеция, α — плоскость, α ∩ (ABCD) по прямой AD, то есть AD ∈ α, точка М — середина АВ, точка N — середина CD (рис. 5).

а) Доказать: MN || α.

б) Найти: AD, если ВС = 4 см, MN = 6 см.

Доказательство: a) 1. MN — средняя линия трапеции ABCD, значит, MN || ВС и MN || AD. 2. Так как AD ∈ α по условию, то МN || α.

Решение: б) (Ответ: a) MN || α; б) AD = 8 см.)

№ 3. Дано: ΔABC; CD — прямая; CD ∉ (ABC); точка Е — середина АВ, точка F — середина ВС (рис. 6).

а) Доказать: CD и EF — скрещивающиеся.

б) Найти: угол между прямыми CD и EF, если ∠DCА = 60°.

Доказательство: EF — средняя линия ΔABC, EF ∈ (ABC), CD ∉ (ABC), CD ∩ (ABC) в точке С, значит, CD и EF — скрещивающиеся прямые.

Решение: EF || СА — по свойству средней линии ΔАВС, значит, угол между прямыми CD и EF будет считаться угол между прямыми DC и СА, то есть ∠DCA, который равен 60°. (Ответ: a) CD и EF — скрещивающиеся; б) угол между прямыми СD и EF равен 60°.)

II уровень.

Вариант I

№ 1. Дано: α — плоскость, а || α, а ∉ α, b ∈ а (рис. 7).

Определите, могут ли прямые: а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися.

Решение:

а) значит, а и b могут быть параллельными;

б) значит, а и b не могут пересекаться;

в) значит, а и b могут быть скрещивающимися. (Ответ: а) да; б) нет; в) да.)

№ 2. Дано: ABCD — трапеция, (AD || ВС); точка М ∉ (ABCD); QP — средняя линия трапеции; NK — средняя линия ΔAMD; EF — средняя линия ΔВМС; QP = 16 см; АD : ВС = 5 : 3 (рис. 8).

а) Доказать: EF || NK.

б) Найти: EF; NK.

Доказательство:

1) EF || ВС и NK || AD — по свойству средней линии треугольника;

2) AD || ВС — по условию, значит EF || NK.

Решение: Пусть х — коэффициент пропорциональности k, тогда AD = 5х, ВС = 3х. Так как — по свойству средней линии трапеции, то составим и решим уравнение. значит, k = 4, тогда AD = 20 см, ВС = 12 см. Тогда (Ответ: a) EF || NK; б) 10 см; 6 см.)

№ 3. Дано: ABCD — квадрат; КА ∉ (ABCD); КА ∩ (ABCD) в точке А. ∠AKB = 85°, ∠ABK = 45° (рис. 9).

а) Доказать: КА и CD — скрещивающиеся.

б) Найти: угол между прямыми КА и CD.

Доказательство: CD ∈ (ABCD), КА ∉ (ABCD) — по условию и КА ∩ (ABCD) в точке А ∉ CD, тогда КА и СD — скрещивающиеся.

Решение:

1) CD || АВ, CD = АВ, КА ∩ ВА в точке А, значит, углом между прямыми КА и CD будет являться ∠KАВ.

2) Так как ∠АКB = 85°, ∠АВК = 45°, то ∠КАВ = 180° — (∠АКB + ∠АВК) = 180° — (85° + 45°) = 50°. Ответ: а) КА и СD — скрещивающиеся; б) угол между прямыми КА и СD равен 50°.)

Вариант II

№ 1. Дано: α — плоскость, а || α, b ∩ α в точке О (рис. 10).

Определите, могут ли прямые а и Ь: а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися.

Решение:

а) Так как а || α, b ∩ α в точке О, то а и b не могут быть параллельными;

б) b ∩ α в точке О; а || α, тогда а и b могут пересекаться;

в) а || α, b ∩ α в точке О, значит, а и b могут быть скрещивающимися. (Ответ: а) нет; б) да; в) да.)

№ 2. Дано: ΔABC, ΔKMNP — трапеция; КР || MN; EF — средняя линия ΔАВС и трапеции KMNP. КР : MN = 3 : 5, АС = 16 см (рис. 11).

а) Доказать: АС || КР.

б) Найти: КР и MN.

Доказательство: EF || АС — по свойству средней линии ΔАВС; EF || КР — по свойству средней трапеции KMNP. Значит, АС || КР.

Решение:

2. Пусть k — коэффициент пропорциональности, тогда КР = 3k, MN = 5k.

значит, (Ответ: а) АС || КР; б) КР = 6 см; MN = 10 см.)

№ 3. Дано: ABCD — ромб; точка М ∉ (ABCD); МС — прямая; МС ∩ (ABCD) в точке С (рис. 12).

а) Доказать: МС и AD — скрещивающиеся.

б) Найти: угол между МС и AD, если ∠MBC = 70°, ∠BMC = 65°.

Доказательство: МС ∉ (ABCD), MС ∩ (ABCD) в точке AD ∈ (ABCD), значит, МС и AD — скрещивающиеся прямые.

Решение:

1. AD || ВС — как противолежащие стороны ромба; ВС ∩ МС в точке С, значит, утлом между прямыми МС и AD будет считаться ∠MCB.

2. (Ответ: а) МС и AD — скрещивающиеся; б) угол между МС и AD равен 45°.)

III уровень

Вариант I

№ 1. Дано: α и β — плоскость, α ∩ β по прямой l, а || l; а и b — скрещивающиеся (рис. 13.).

Определите, могут ли прямые а и b; а) лежать в одной плоскости; б) лежать в разных плоскостях α и β; в) пересекать плоскости α и β.

Решение:

а) Так как а и b — скрещивающиеся, то они лежат в разных плоскостях; не могут лежать в одной плоскости.

б) Так как а и b — скрещивающиеся, то они могут лежать только в разных плоскостях.

в) Если прямая а ∩ α, то а ∩ l — что противоречит условию а || l, если прямая а ∩ β, то а ∩ l — что противоречит условию а || l; прямая b может пересекать плоскость α, не пересекает плоскость β. (Ответ: а) нет; б) да; в) нет.)

№ 2. Дано: ΔАВС; α — плоскость; α ∩ (ABC) по прямой MN; М ∈ АВ; N ∈ ВС; АМ : МВ = 3 : 4; CN : BC =3 : 7; MN = 16 см (рис. 14).

а) Доказать: АС || α.

б) Найти: АС.

Доказательство: Рассмотрим ΔABC и ΔMBN. У них: a) ∠B — общий; б) Значит, ΔABC ~ ΔMBN ⇒ ∠BMN = ∠BAC и ∠BNM = ∠BCA — и они соответственные при прямых MN и AC; AB и ВС — секущие, значит, MN || AC.

Решение:

Из ΔАВС ~ ΔMBN ⇒ (Ответ: а) АС || α; б) АС = 28 см.)

№ 3. Дано: А, В, С и D — не лежат в одной плоскости. АС = 6 см; BD = 8 см. Расстояние между серединами отрезков AD и ВС равно 5 см (рис. 15).

Найти: угол между прямыми АС и BD.

Решение:

1. Отметим точку К — середину AD, N — середину ВС. Проведем КМ || BD, тогда углом между прямыми АС и BD будем считать ∠KMN.

2. КМ = 1/2АС = 3 см; MN = 1/2BD = 4 см; KN = 5 см (как расстояние между прямыми AD и ВС).

3. Получили ΔKMN со сторонами 3 см, 4 см, 5 см — это египетский треугольник. Значит, ∠КMN = 90°. (Ответ: 90°.)

Вариант II

№ 1. Дано: α и β по прямой l; l ∩ а в точке А, l || b (рис. 16).

Определите, могут ли прямые а и b: а) лежать в одной из данных плоскостей; б) лежать в разных плоскостях α и β; в) пересекать плоскости α и β.

Решение:

а) b || l, значит, b || α и b || β; а ∩ l, значит, а может пересекать либо α и лежать в β, либо пересекать β и лежать в α. Поэтому а и b могут лежать в одной из данных плоскостей;

б) а и b могут лежать в разных плоскостях α и β;

в) b || l ⇒ b не может пересекать ни α, ни β. А прямая а ∩ l, поэтому может пересекать либо α, либо β. (Ответ: а) да; б) да; в) нет.)

№ 2 Дано: ΔАВС; α — плоскость; AC ∈ α; l — прямая АВ ∩ l в точке М; ВС ∩ l в точке N; BN : NC= 2 : 3, АМ : АВ = 3 : 5; AС = 30см (рис. 17).

а) Доказать: MN || α.

б) Найти: MN.

Доказательство: Рассмотрим ΔMBN и ΔAВС. У них: а) ∠В — общий; б) Значит, ΔMBN ~ ΔАВС. Из этого следует, что ∠BMN = ∠BAC и ∠BNM = ∠BCA — они являются соответственными при прямых MN и АС и секущих АВ и ВС. Значит,